Die beliebtesten Fehler in Mathe

Während der vielen Jahre des Unterrichtens stellt man gewisse Muster fest. Bestimmte Inhalte, die nicht oder unzureichend erklärt werden.
Und: sich ständig wiederholende Fehler.
Die Art der Fehler lässt u.U. darauf schließen, von welcher Natur das Verständnisproblem ist (z.B. ein Vorzeichenfehler indiziert ein mangelndes Verständnis des Körpers der reellen Zahlen). Grundsätzlich passieren Fehler dann, wenn man entweder schlampig ist oder Annahmen über die Natur der Sache macht und nach diesen verfährt.


Hier eine Auswahl der beliebtesten Fehler:
1. Der Klassiker - das Minus, a.k.a der Vorzeichenfehler
Bsp. Man will folgenden simplen Term vereinfachen: Formula
Der Fehler passiert nun, indem man das Minus vor Formula nur auf den ersten Teil des Zählers anwendet.

FALSCH:
Formula
KORREKT:
Formula
Die wichtige Frage ist aber, WARUM, die korrekte Lösung korrekt ist! Hierzu verinnerliche man sich die unten stehende Gleichheitskette. Man bedenke, dass alle Ausdrücke völlig äquivalent sind aufgrund der normalen Rechenregeln, die man ganz zu Beginn lernt.
Formula
Formula
Es ist also völlig gleichgültig, wo im Bruch der Faktor (-1) steht. Er darf im Zähler, im Nenner oder vor dem Bruch stehen. Alle diese Varianten sind gleichbedeutend damit, dass dem Bruch, dem Quotienten, ein negatives Vorzeichen gegeben wird. Der Faktor (-1) muss automatisch im Gedanken hin- und herspringen und ohne Mühe in den Zähler, dann werden diese Fehler weitestgehend vermieden.

2. Was ist eine De nitionsmenge?
Mir ist selten ein Schüler untergekommen, der wusste, was eine De nitionsmenge ist.
Die De nitionsmenge eines mathematischen Terms ist aber einfach die Menge an Zahlen, für die der Term de niert ist und NICHT die Menge der Zahlen, für die der Term NICHT de niert ist. Die De nitionsmenge ist also oft sehr groß.
Bsp. Wir wollen die De nitionsmenge des folgenden Terms bestimmen, wenn wir die reellen Zahlen zugrunde legen:
Formula
Grundsätzlich kann man einmal die reellen Zahlen einsetzen, die Ausgangsmenge nennt man gerne Grundmenge G. Von dieser muss man aber u.U. ein paar Zahlen ausnehmen. Hier handelt es sich offensichtlich um eine Division. Eine Division ist nur für Nenner 6 ungleich 0 de niert. Also müssen wir jene Werte für x ausnehmen, für die der Nenner = 0 ware. Das ist aber denkbar einfach:
Formula
Nunmehr ist die De nitionsmenge des Terms T(x)
Formula
NUR der Einser wurde aus den rellen Zahlen ausgenommen. Die De nitionsmenge ist also riesig!
Die De nitionsmenge von mehreren Brüchen ist dann die Menge, auf der ALLE Brüche de niert sind. Die De nitionsmenge von Gleichungen ist jene Menge, auf der alle Terme der Gleichung de niert sind.

3. Weil es so gut dazu passt
Wieviel ist 0/1 bzw. 1/0 ?
Nicht hereinfallen: Ersteres ist 0, da 1 in 0 null mal geht. Zweiteres ist einfach nicht de finiert, siehe 2.

4. Wie lose ich eine Exponentialgleichung?
Einfachstes Bsp. (mit a, b > 0)
Formula
Nein, man zieht nicht die x-te Wurzel. Man muss sich fragen, was ist das Gegenteil von Potenzieren, da ja a mit x potenziert wurde. Dieses Gegenteil ist der Logarithmus (zur Basis a). Der Logarithmus liefert nämlich per De nition die Antwort auf die Frage: "Was muss ich bei a in den Exponenten stellen, damit b herauskommt?"
Da man oft am Taschenrechner nur bestimmte Logarithmen mit beispielsweise der Basis e zur Verfügung hat, kann man das obige Beispiel so lösen:
Formula

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