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Karl L.
Mathematik

Warum gilt folgende Gleichung? 2(cos(π/6) + i sin (π/6)) = 2 (√3/2 + i/2)

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cos (p/6) = 0.866 = Wurzel aus 3 /2 und sin (p/6) = 0.5. Einfach TR auf R (radiant) einstellen und du hast die Lösung, lg. Gerhard Dobler
Zunächst ist zu zeigen, dass sin(pi/6) = 1/2.
Ein heuristisches Argument liefert die Betrachtung eines halben gleichseitigen Dreiecks mit den Winkeln 30°, 60°, 90°. Im Anhang befindet sich eine Herleitung, die mit der analytischen Definition der trigonometrischen Funktionen arbeitet.
Nach dem trigonometrischen Pythagoras (sin(x)^2+cos(x)^2=1) gilt
cos(pi/6)^2 = 1 - sin(pi/6)^2 = 1 - 1/4 = 3/4.

Da cos auf dem Intervall (0, pi/2) positiv ist, folgt cos(pi/6) =sqrt(3)/2.
Insgesamt gilt cos(pi/6) + i sin (pi/6) = sqrt(3)/2 + i/2.
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