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Gregor G.
Mathematik

Warum ist die (-1)1/3 = 1/2 + i * sqrt(3)/2 ?

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Mit (-1)^(1/3) bezeichnen wir eine der drei Lösungen der Gleichung z^3 + 1 = 0 über den komplexen Zahlen. Eine Lösung dieser Gleichung ist 1/2 + i * sqrt(3)/2. Es gibt viele Wege dies zu zeigen:


1. Der direkte Weg
Da wir bereits den Kandidaten 1/2 + i * sqrt(3)/2 für eine Lösung kennen, reicht es, diesen Kandidaten in die Gleichung z^3 + 1 = 0 einzusetzen und anschließend auszumultiplizieren.


2. Polynomdivision und quadratische Lösungsformel
Alternativ können wir die Lösungen von z^3 + 1 = 0 bestimmen. Es gibt zwar eine Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades, deren Anwendung ist jedoch nicht sehr handlich und in diesem Fall auch nicht erforderlich.

Es gilt (-1)^3 = -1. Damit ist -1 eine Lösung unserer Gleichung. Also teilt z+1 das Polynom z^3+1. Polynomdivision liefert (z^3+1)/(z+1) = z^2 - z + 1. Mit der quadratischen Lösungsformel folgt z^2 - z + 1 = (z - 1/2 - i * sqrt(3)/2)*(z - 1/2 + i * sqrt(3)/2).

Insgesamt haben wir also z^3+1 = (z+1)*(z - 1/2 - i * sqrt(3)/2)*(z - 1/2 + i * sqrt(3)/2). Wir erkennen, dass 1/2 + i * sqrt(3)/2 eine Nullstelle des Polynoms z^3+1 und damit eine Lösung unserer Gleichung z^3+1 = 0 ist.


3. Polarkoordinatendarstellung
Da -1 eine komplexe Zahl ist können wir sie in Polarkoordinaten darstellen. Es gilt -1 = e^(i*pi). Jetzt ist e^(i*pi/3) eine Lösung unserer Gleichung.
Es gilt e^(i*pi/3) = cos(pi/3) + i sin(pi/3) = 1/2 + i * sqrt(3)/2.